数列规律的探索是中考命题的热点，其探索目标是寻找答案数an与序号n之间的关系。 在暂时难以发现这样的关系的情况下，只要将已知的解答数an以适当的数量进行加、减、乘、除，搜索到的规律就会跃然纸上，自然地显现出来。

一、加一个数

例1 ) 2021 (黑龙江绥化)下各图形由一个大小相同的三角形组成。 图有一个三角形，图有五个三角形，图有11个三角形，图有19个三角形……根据这个规律，第n个图形中的三角形个数是_______。

【解析】前4个图形的答案数分别为1、5、11、19，

把它们都加到1上，就得到了：

二、六、十二、二十，

这些数都是连续两个整数的乘积，容易理解第n个的个数为n(n1 )，

结果再减去1，第n个图形中三角形的个数为n(n1 )-1。

例2 )观察2021 (广西玉林)以下分枝定则图，用Yn表示第n个图的分枝数，Y9-Y4=( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

a.15乘24 b.31乘24

C.3324 D.6324

【分析】观察前几个图形中树枝的数量。 1、3、7、15、…，

先把它们加1，得到： 2，4，8，16，…

这些数都很容易看出2是底的幂，

即2=21，4=22，8=23，16=24，…

因此，第n个个数为2n，

因此，Yn=2n-1，

所以y9-y4=(29-1 )-)-(24-1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )。

=29-24=(25-1 )24=3124，

所以选b。

例3(2021 )湖北)根据图中的数字规律，如果第n个图中的q=143，则p的值为() )。

A.100 B.121

C.144 D.169

【解析】观察图中p、q、n之间的关系，p=n2，其次q与n的关系，即3、8、15、……容易观察这些数的规律。

首先，各个数加1，等于4、9、16、

很容易看出这些数都是完全的平方数。 也就是说：

4=(1) 2，9=)2)1) 2，16=)3) 1，

因此，第n个个数为( n 1 ) 2，进一步减去1是图中q的结果，

即，图中q=(n 1 )2-1，

通过搜索，在n=11情况下，

q=(n1 )2-1=143，

所以p=n2=112=121，所以选择b。

二、减去一个数

例4 ) 2021 (内蒙古鄂尔多斯)将同一个“”按图规律排列，观察每张“乌龟图”中“”的个数，第30张“乌龟图”中显示： ___________。

【解析】前4个图形中的“0”的个数分别为5、7、11、17。

把它们都减去5，得到0、2、6、12，

容易看出它们是连续两个整数的乘积，第n个的个数为n(n-1 )，

结果加上5，第n幅“乌龟画”中有“0”的个数是

n(n-1 ) 5。

当n=30时，

n(n-1 )5=3029 )5=875，

也就是说，第30个“乌龟图”有875个“”。

例5已知列数。 6、7、10、15、22、31、42、…、2022在这个列数里吗？ 如果有，请指出是第几个。 如果不存在，这个列数中最接近2022的数是第几个？ 那个多少钱？

【解析】首先从各数中减去6，就可以了。

0，1，4，9，16，25，36，…

这些数都是完全平方数，第n个个数为[n-1]2，

因此，该列数的第n个的个数为( n-1 )2) 6，

当n=45时，( n-1 )2)2 6=19422022，

当n=46时，( n-1 )2)2 6=20312022，

因此，2022不在这个列数中。 该列数中与2022最接近的是第46个个数，为2031 .

三、乘以一个数

例6 (湖北荆门)如图所示，将正整数按此规律排列在数据表上，2021为表中第________列。

【2】

分析】首先观察第n行第n列的数量，前几个如下。

一三六十五，

把它们加倍，就能得到。

二、六、十二、二十、三十，

很容易看出这些数是连续的两个整数的乘积，

第n个个数为n(n1 )、

结果除以2

也就是说，数据表第n行第n列的数量为( n 1 ) n/2，

在n=63的情况下，

由于n(n1 )=2016，所以第63行第63列的数量为2016，

因此，64行第1列数为2017，第2列数为2018，…第5列数为2021，

所以2021是第64行第5列。

例7 )湖南湘西土家族苗族自治州(古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…这样的数称为三角形数。 因为其规律性可以用图表示。 根据图形，假设最初图形表示的三角形的数量为a1=1，第2个图形表示的三角形的数量为a2=3，……，则第n个图形

【解析】观察a1、a2、a3、a4的列数。 一三六十，

将它们乘以2，6，12，20，

容易发现第n个的个数为n(n1 )，

将结果除以2，得到an=(n 1 ) n/2。

例8观察数列： 2、8、20、40、70、112…，根据该规律，第10个数为______。

【解析】2=12，8=24，20=45，40=452，112=527，112=278，…

如果将这些数再乘以3，就会发现每个数都是三个连续整数的乘积。

因此，将这些数乘以3，可以得出：

123、234、345、456、567、…

第n个个数为n(n1 ) ) n 2 )，

因此，原来数列的第n个的个数为n(n1 ) ) n 2 )/3，

在n=10情况下，第10个的个数为440 .

四、除以一个数

例9 ) 2021 )湖南常德)图中的三个图形都是由边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形为11个正方形，所有线段之和为4，第二个图形为22个小正方形，所有线段之和为12、3 根据这个规律，第n个网格

【分析】观察前3个图形的答案数： 4、12、24

这些除以2，就是2、6、12。

容易发现的是，第n个的个数为n(n1 )，

如果将结果乘以2，则第n个网格中所有线段的和为2n(n1 )。

五、先加减一个数，再乘除一个数

例10(2021 )湖北)按图像规则排列从1开始的连续奇数。 例如，假设位于第4行第3列的数据为27，则位于第32行第13列的数据为) )。

A.2025 B.2023 C.2021 D.2019

【分析】通过观察，可以知道第1行各列的数量或第1列各行的数量。 这些数量可以一会儿增加一会儿减少，不规则地遵循。 若观察第n行第n列的数量： 1、5、13、25、

先减去1，得到： 0，4，12，24，然后除以2，得到：

0、2、6、12、…，

到目前为止，第n个个数为n(n-1 )，

因此，数据表第n行第n列的数量为2n(n-1 ) 1，

搜索结果，第32行第32列的数量如下

2乘32乘( 32-1 )1=1985，

根据数表的排列规律，第偶数行的从右向左的数据每返回1就增加2，

因此，第32行第13列的数据

19852(32-13 )=2023，所以选择b。